Cách chứng tỏ hàm số thường xuyên tại một điểm, hàm số thường xuyên trên một khoảng

Hàm số liên tục là trong số những mảng kiến thức đặc biệt của Giải tích, trong bài xích này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt triết lý về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục là gì

1. Cầm tắt lý thuyết hàm số liên tục

1.1. Hàm số thường xuyên tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng tầm ((a;b)) với (x_0) ở trong ( (a;b) ). Hàm số (f(x)) tiếp tục tại ( x_0 ) khi và chỉ khi $$undersetx o x_0mathoplim ,f(x)=f(x_0)$$

Hàm số không tiếp tục tại ( x_0 ) còn hoàn toàn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại ( x_0 ).

Giả sử những hàm số ( y = f(x), y = g(x) ) thường xuyên tại điểm ( x_0 ). Lúc đó:

Các hàm số ( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) ) liên tiếp tại ( x_0 ).Hàm số $y=dfracf(x)g(x)$ liên tiếp tại ( x_0 ) nếu như ( g(x_0) e 0 ).

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số ( y = f(x) ) liên tiếp trên khoảng ( (a;b) ) khi và chỉ còn khi nó thường xuyên tại những điểm thuộc khoảng tầm đó.Nếu hàm số liên tiếp trên khoảng ( (a;b) ) thì trên khoảng đó, vật dụng thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).
*

Tại điểm $x_0$ đồ dùng thị hàm số bị đứt (rời) nên nói theo cách khác hàm số gián đoạn tại $x_0$


1.3. Hàm số liên tiếp trên một đoạn

Hàm số ( y = f(x) ) thường xuyên trên đoạn ( ) khi và chỉ còn khi nó thường xuyên trên khoảng tầm ( (a;b) ) và

1.4. Các hàm số tiếp tục thường gặp

Hàm số nhiều thức thường xuyên trên ( mathbbR ).Hàm số phân thức, căn thức, hàm con số giác thường xuyên trên từng khoảng xác định của chúng.

1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục

Nếu hàm số ( y = f(x) ) liên tiếp trên đoạn ( ) và ( f(a). F(b)Nói cách khác, giả dụ hàm số ( y = f(x) ) liên tiếp trên đoạn ( ) và ( f(a). F(b)Nếu hàm số liên tiếp ( y = f(x) ) trên đoạn ( ). Đặt (m = mathop min limits_left< a;b ight> mkern 1mu f(x)), cùng (M = mathop max limits_left< a;b ight> mkern 1mu f(x)). Khi đó với mọi số ( T ) thuộc khoảng tầm ( (m; M) ) luôn tồn tại không nhiều nhất một vài ( c ) thuộc khoảng tầm ( (a; b) ) sao để cho ( f(c) = T ).

2. Những ví dụ và dạng toán về hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tiếp của hàm số trên một điểm núm thể

Để xét tính thường xuyên của hàm số ( y = f(x) ) tại điểm ( x_0 ) ta tiến hành các bước:

Kiểm tra coi hàm số có xác định bên trên một khoảng chừng chứa ( x_0 ) hay không và tính quý giá ( f(x_0) ).Tính (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) (trong nhiều trường thích hợp ta cần tính (mathop lim limits_x o x_0^ + mkern 1mu f(x),mathop lim limits_x o x_0^ – f(x)))So sánh (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) với ( f(x_0) ) cùng kết luận.

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ tại ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Hàm số xác định trên (mathbbR setminus 2\) chứa ( x=1 ) với ( f(1) = – 3 )Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số trên ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Thấy ngay ( mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) = – 3 ), đề xuất suy ra hàm số vẫn cho thường xuyên tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 & extnếu ,x e 1\ 2x+5 & extnếu x = 1 endarray ight.$$ trên ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số xác minh tại ( x=1 ) cùng ( f(1) = 7 )Ta đi tính giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Do ( mathop lim limits_x o 1 f(x) e f(1) ) nên hàm số đã cho đứt quãng tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 3. Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu ,x > 1,,,,,,\ 1& & extnếu ,,x le 1 endarray ight.$$ tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn. Khác với lấy ví dụ như trước, sống đây chúng ta cần đi tính số lượng giới hạn trái và số lượng giới hạn phải tại $x=1$.

Hàm số khẳng định tại ( x=1 ) và ( f(1)=1 )Giới hạn trái trên ( x=1 ) < limlimits_x o 1^-f(x)= limlimits_x o 1^-1=1>Giới hạn bắt buộc tại ( x=1 ) <eginarray*20lmathop lim limits_x o 1^ + f(x)& = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2\& = mathop lim limits_x o 1^ + frac5x – 2x – 2\& = – 3endarray>

Ta thấy ( limlimits_x o 1^+f(x) e limlimits_x o 1^-f(x) ) bắt buộc suy ra hàm số đã cho cách quãng tại (x=1).

Ví dụ 4. Xét tính tiếp tục của hàm số 0endarray ight.> trên điểm ( x = 0 ).

Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và đối chiếu giá trị, giới hạn trái, số lượng giới hạn phải của hàm số trên điểm ( x = 0).

Hàm số khẳng định tại ( x = 0 ) và ( f(0)=2 ).Giới hạn trái tại ( x = 0 ) là Giới hạn đề nghị tại ( x = 0 ) là <eginarray*20lmathop lim limits_x o 0^ + f(x)& = mathop lim limits_x o 0^ + dfracsqrt x + 4 – 2x\& = mathop lim limits_x o 0^ + dfracsqrt x + 4 – 2left( sqrt x + 4 ight)^2 – 4\& = mathop lim limits_x o 0^ + dfrac1sqrt x + 4 + 2\& = frac14endarray>

Chúng ta thấy, ( limlimits_x o 0^+f(x)=limlimits_x o 0^-f(x) ) mà lại lại khác (f(0)) đề xuất suy ra hàm số không tiếp tục tại điểm ( x = 0 ).

Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số thường xuyên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập xác định

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của hàm số bên trên (R).

Hướng dẫn. rõ ràng khi (x e0) thì hàm số đã cho rằng hàm phân thức và hoàn toàn xác định phải nó liên tục trên từng khoảng chừng ( (-infty;0) ) và ( (0;+infty) ).

Chú ý ko được nói hàm số đang cho tiếp tục trên (( – infty ;0) cup (0; + infty )).

Do đó, họ chỉ bắt buộc xét tính liên tục của hàm số tại (x=0). Chúng ta có:

Giá trị của hàm số trên (x=0) là ( f(0)=5 ).Giới hạn của hàm số tại (x=0) là <eginarray*20lmathop lim limits_x o 0 f(x)& = mathop lim limits_x o 0 dfracx^2 + 5xx\& = mathop lim limits_x o 0 left( x + 5 ight) = 5endarray>

Ta thấy (mathop lim limits_x o 0 f(x) = f(0)) yêu cầu hàm số sẽ cho tiếp tục tại (x=0). Tóm lại, hàm số sẽ cho tiếp tục trên toàn bộ tập (R).

Ví dụ 2. Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên tập xác định.

Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là (R).

Tập khẳng định của hàm số là tập cơ mà tại hầu như điểm (x) của tập đó, hàm số có thể tính giá tốt trị (f(x)) tương ứng.

Khi ( xKhi ( x>0 ) thì ( f(x)=sqrtx ) cũng chính là hàm số liên tục.

Do đó, bọn họ chỉ xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm ( x=0 ) nữa là hoàn toàn có thể kết luận. Trên ( x=0 ) thì <eginarraylmathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + sqrt x = 0\f(0) = 0\mathop lim limits_x o 0^ – f(x) = mathop lim limits_x o 0^ – left( 2x – 1 ight) = – 1endarray> cụ thể (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = f(0) e mathop lim limits_x o 0^ – f(x)) nên hàm số ngăn cách tại ( x=0 ).

Tóm lại, hàm số đã đến không liên tiếp trên tập xác định.

Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số tiếp tục tại một điểm

Ví dụ 1. Tìm ( m ) nhằm hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3mx – 1& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ tiếp tục tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số xác minh tại ( x=1 ) và ( f(1) = – 3m.1 – 1 ).Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số trên ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Hàm số ( f(x) ) tiếp tục tại ( x_0 = 1 ) khi và chỉ còn khi $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 Leftrightarrow m = – frac23 $$

Vậy quý giá m phải tìm của ( m ) là ( -3 ).

Dạng 4. Tìm đk để hàm số thường xuyên trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập xác định.

Ví dụ. tra cứu ( m ) nhằm hàm số sau thường xuyên trên tập khẳng định của nó:$$ f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1& & extnếu,,x e 1,,,,,,\ – 3mx – 1& & extnếu,,x = 1 endarray ight. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: ( D = mathbbR ).

Nếu ( x e 1 ), thì hàm số đã cho là ( f(x) = dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1 ). Đây là hàm phân thức hữu tỉ gồm tập xác minh là ( left( – infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) đề nghị nó thường xuyên trên mỗi khoảng chừng ( left( – infty ;1 ight) ) và ( left( 1; + infty ight) )Nếu ( x = 1 ) thì bọn họ có ( f(1) = – 3m – 1 ) cùng <eginarray*20l&\mathop lim limits_x o 1 f(x)& = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x – 1\& = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)x – 1\& = mathop lim limits_x o 1 (5x – 2) = 3endarray> Hàm số ( f(x) ) tiếp tục tại ( x_0 = 1 ) khi và chỉ còn khi <eginarrayl,,,,,,mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1)\Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\Leftrightarrow m = – frac43.endarray>

Tóm lại, giá bán trị đề xuất tìm là ( m = – frac43 ).

Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 1. chứng tỏ phương trình ( 3x^3 + 2x – 2 = 0 ) có nghiệm trong vòng ( left( 0;1 ight) ).

Hướng dẫn.

Xét hàm số ( f(x) = 3x^3 + 2x – 2 ), đây là hàm đa thức nên tiếp tục trên tập ( R ). Vì đó, ( f(x) ) cũng liên tiếp trên đoạn ( left< 0;1 ight> ).Ta có: $$ f(0)cdot f(1) = ( – 2)cdot (3) = – 6

Suy ra tồn tại ít nhất một trong những ( c ) trong tầm ( (0;1) ) sao cho ( f(c) = 0 ), tức là phương trình ( f(x)=0 ) có tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng ( left( 0;1 ight) ).

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình ( 2x^3 – 6x^2 + 5 = 0 ) có ba nghiệm trong khoảng ( left( – 1;3 ight) ).

Hướng dẫn.

Hàm số ( f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 5 ) liên tiếp trên ( R ) đề xuất suy ra ( f(x) ) liên tục trên các đoạn ( <-1;0> , <0;2>) với ( <2;3> ).Ta có: ( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 ). Suy ra <eginarraylf( – 1)cdot f(0) f(0)cdot f(2) f(2)cdot f(3) endarray> bởi đó, phương trình đã cho gồm nghiệm trong những khoảng ( left( – 1;0 ight) ), ( left( 0;2 ight) ) cùng ( left( 2;3 ight) ).

Kết luận, phương trìn có bố nghiệm trong tầm ( left( – 1;3 ight) ).

Ví dụ 3. chứng tỏ rằng phương trình ( ax^2 + bx + c = 0 ) luôn có nghiệm trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ) với tất cả ( a e 0 ) với ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

Hướng dẫn. Hàm số ( f(x) = ax^2 + bx + c ) thường xuyên trên ( mathbbR ) bắt buộc cũng liên tiếp trên đoạn ( left< 0;frac13 ight> ).

Ta tất cả $$ f(0) = c, f(frac13) = frac19(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(frac13) = 2a + 6b + 19c = 0 $ phải $$ f(0) =-18f(frac13) $$ Như vậy, họ thấy

Nếu ( f(0) = f(frac13) = 0 ) thì phương trình có nghiệm đó là ( 0 ) cùng ( frac13 ) ở trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ).Nếu ( f(0) =-18 f(frac13) e 0 ) thì ( f(0)cdot f(frac13) =-left(f(0) ight)^2

Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ) với mọi ( a e 0 ) cùng ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính thường xuyên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx+3x-1& ext khi ,,x e 1 \& -1& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=-1$b) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracsqrtx+3-2x-1,,,& ext lúc ,x e 1,,,,,, \& frac14& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x) = left{ eginarray*20cdfrac2 – 7x + 5x^2 – x^3x^2 – 3x + 2& mkhi mkern 1mu x e 2mkern 1mu \1& extkhi x = 2endarray ight. $tại $x=2$d) $f(x),=,left{ eginalign& fracx-5sqrt2x-1-3,,& ext khi ,,x>5 \& (x-5)^2+3,,,,,& ext lúc ,xle ,,5 \endalign ight.$tại $x=5$e) $f(x),,=,,left{ eginalign& 1-cos x& ext lúc ,xle 0 \& sqrtx+1& ext lúc ,,x>0 \endalign ight.$tại $x=0$f) $f(x)=left{ eginalign& fracx-1sqrt2-x-1& ext lúc ,,x& -2x& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$

Bài 2. Tìm $m, n$ nhằm hàm số liên tiếp tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& x^2& ext lúc ,,x& 2mx-3& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$b) $f(x)=left{ eginalign& fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \& 3x+m& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x)=left{ eginalign& m& ext lúc ,,x=0 \& fracx^2-x-6x(x-3)& ext khi ,,x e 0,x e 3 \& n& ext khi ,,x=3 \endalign ight.$tại $x=0$ với $x=3$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext lúc ,,x e 2 \& m& ext khi ,,x=2 \endalign ight.$tại $x=2$

Bài 3. Xét tính thường xuyên của các hàm số sau bên trên tập xác định của chúng:

a) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracx^3+x+2x^3+1& ext lúc ,,x e -1 \& frac43& ext lúc ,,x=-1 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign& x^2-3x+4& ext khi ,,x& 5& ext khi ,,x=2 \& 2x+1& ext lúc ,,x>2 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-4x+2& ext khi ,,x e -2 \& -4& ext khi ,,x=-2 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-2x-sqrt2& ext lúc ,,x e sqrt2 \& 2sqrt2& ext khi ,,x=sqrt2 \endalign ight.$

Bài 4. Tìm các giá trị của tham số (m) để các hàm số sau liên tục trên tập khẳng định của chúng:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext lúc ,,x e 2 \& m& ext khi ,,x=2 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign&x^2+x& ext khi ,,x&2& ext lúc ,,x=1 \&mx+1& ext lúc ,,x>1 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign&fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \&3x+m và ext khi ,,x=1 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign&x^2& ext khi ,,x&2mx-3& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$

Bài 5. Chứng minh rằng những phương trình sau tất cả 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^3-3x+1=0$b) $x^3+6x^2+9x+1=0$c) $2x+6sqrt<3>1-x=3$

Bài 6. Chứng minh rằng những phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^5-3x+3=0$b) $x^5+x-1=0$c) $x^4+x^3-3x^2+x+1=0$

Bài 7. chứng minh rằng phương trình: $x^5-5x^3+4x-1=0$ gồm 5 nghiệm trên khoảng chừng ( (-2; 2) ).

Bài 8.

Xem thêm: “ Sinh Viên Năm 4 Tiếng Anh Là Gì : Định Nghĩa, Ví Dụ Anh Việt

minh chứng rằng các phương trình sau luôn luôn có nghiệm với đa số giá trị của tham số:

a) $m(x-1)^3(x-2)+2x-3=0$b) $x^4+mx^2-2mx-2=0$c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$d) $(1-m^2)(x+1)^3+x^2-x-3=0$e) $cos x+mcos 2x=0$f) $m(2cos x-sqrt2)=2sin 5x+1$

Bài 9. Chứng minh các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

a) $ax^2+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$b) $ax^2+bx+c=0$ cùng với ( a + 2b + 5c = 0 )c) $x^3+ax^2+bx+c=0$

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm ( x ) trực thuộc $left< 0;frac13 ight>$ với ( a e 0 ) cùng ( 2a + 6b + 19c = 0 ).